Los números de Fibonacci escondidos en espacios extraños

McDuff y Schlenk habían estado tratando de averiguar cuándo podrían encajar un elipsoide simpléctico (una gota alargada) dentro de una bola. Este tipo de problema, conocido como problema de incrustación, es bastante fácil en la geometría euclidiana, donde las formas no se doblan en absoluto. También es sencillo en otros subcampos de la geometría, donde las formas se pueden doblar tanto como quieras siempre que su volumen no cambie.

La geometría simpléctica es más complicada. Aquí, la respuesta depende de la “excentricidad” del elipsoide, un número que representa cuán alargado es. Una forma larga y delgada con una gran excentricidad se puede plegar fácilmente en una forma más compacta, como una serpiente enrollada. Cuando la excentricidad es baja, las cosas son menos simples.

El artículo de McDuff y Schlenk de 2012 calculó el radio de la bola más pequeña que podría caber en varios elipsoides. Su solución se parecía a una escalera infinita basada en los números de Fibonacci, una secuencia de números donde el siguiente número es siempre la suma de los dos anteriores.

Después de que McDuff y Schlenk revelaran sus resultados, los matemáticos se preguntaron: ¿Qué pasa si intentas incrustar tu elipsoide en algo que no sea una bola, como un cubo de cuatro dimensiones? ¿Aparecerían más escaleras infinitas?

Una sorpresa fractal

Los resultados se filtraron a medida que los investigadores descubrieron algunas escaleras infinitas aquí, algunas más allá. Luego, en 2019, la Asociación de Mujeres en Matemáticas organizó un taller de geometría simpléctica de una semana de duración. En el evento, Holm y su colaboradora Ana Rita Pires formaron un grupo de trabajo que incluía a McDuff y Morgan Weiler, un doctorado recién graduado de la Universidad de California, Berkeley. Se propusieron incrustar elipsoides en un tipo de forma que tiene infinitas encarnaciones, lo que finalmente les permitió producir infinitas escaleras.

Dusa McDuff y sus colegas han estado trazando un zoológico en constante expansión de escaleras infinitas.Cortesía de Barnard College

Para visualizar las formas que estudió el grupo, recuerda que las formas simplécticas representan un sistema de objetos en movimiento. Debido a que el estado físico de un objeto utiliza dos cantidades, posición y velocidad, las formas simplécticas siempre se describen mediante un número par de variables. En otras palabras, son de dimensión uniforme. Dado que una forma bidimensional representa solo un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria fija, las formas de cuatro dimensiones o más son las más intrigantes para los matemáticos.

Pero las formas de cuatro dimensiones son imposibles de visualizar, lo que limita severamente el conjunto de herramientas de los matemáticos. Como remedio parcial, los investigadores a veces pueden dibujar imágenes bidimensionales que capturen al menos alguna información sobre la forma. Según las reglas para crear estas imágenes en 2D, una bola de cuatro dimensiones se convierte en un triángulo rectángulo.

Las formas que analizó el grupo de Holm y Pires se denominan superficies de Hirzebruch. Cada superficie de Hirzebruch se obtiene cortando la esquina superior de este triángulo rectángulo. Un número, b, mide cuánto has cortado. Cuando b es 0, no has cortado nada; cuando es 1, has borrado casi todo el triángulo.

Inicialmente, parecía poco probable que los esfuerzos del grupo dieran frutos. “Pasamos una semana trabajando en ello y no encontramos nada”, dijo Weiler, quien ahora es un posdoctorado en Cornell. A principios de 2020, todavía no habían avanzado mucho. McDuff recordó una de las sugerencias de Holm para el título del artículo que escribirían: “No hay suerte para encontrar escaleras”.