El esfuerzo por construir la biblioteca matemática del futuro

“Hace dos años habrías tenido que [apply the associative property] usted mismo en Lean ”, dijo Amelia Livingston, una estudiante de licenciatura en matemáticas en el Imperial College de Londres que está aprendiendo Lean de Buzzard. “Luego [someone] escribió una táctica que puede hacerlo todo por usted. Cada vez que lo uso, me siento muy feliz “.

En total, Morrison tardó 20 minutos en completar la prueba de Euclides. En algunos lugares, él mismo completó los detalles; en otros usó tácticas para hacerlo por él. En cada paso, Lean verificaba para asegurarse de que su trabajo fuera consistente con las reglas lógicas subyacentes del programa, que están escritas en un lenguaje formal llamado teoría de tipos dependientes.

“Es como una aplicación de sudoku. Si hace un movimiento que no es válido, se pondrá en marcha “, dijo Buzzard. Al final, Lean certificó que la prueba de Morrison funcionaba.

El ejercicio fue emocionante como siempre lo es cuando la tecnología interviene para hacer algo que solías hacer tú mismo. Pero la prueba de Euclides ha existido durante más de 2.000 años. Los tipos de problemas que preocupan a los matemáticos hoy en día son tan complicados que Lean ni siquiera puede entender las preguntas todavía, y mucho menos apoyar el proceso de respuesta.

“Es probable que pasen décadas antes de que esto sea una herramienta de investigación”, dijo Heather Macbeth de la Universidad de Fordham, un usuario de Lean.

Entonces, antes de que los matemáticos puedan trabajar con Lean en los problemas que realmente les interesan, deben equipar el programa con más matemáticas. En realidad, es una tarea relativamente sencilla.

“Lean es capaz de entender algo es básicamente una cuestión de que los seres humanos tengan [translated math textbooks] en la forma que Lean puede entender ”, dijo Morrison.

Desafortunadamente, sencillo no significa fácil, especialmente considerando que para muchas matemáticas, los libros de texto realmente no existen.

Conocimiento disperso

Si no estudió matemáticas superiores, la asignatura probablemente parece exacta y bien documentada: el álgebra I conduce al álgebra II, el precálculo conduce al cálculo y todo está escrito allí mismo en los libros de texto, con la clave de respuestas al final.

Pero las matemáticas de la escuela secundaria y la universidad, incluso muchas matemáticas de la escuela de posgrado, son una parte muy pequeña del conocimiento general. La gran mayoría está mucho menos organizada.

Hay áreas de las matemáticas enormes e importantes que nunca se han escrito por completo. Están almacenados en la mente de un pequeño círculo de personas que aprendieron su subcampo de las matemáticas de personas que lo aprendieron de la persona que las inventó, es decir, existe casi como folclore.

Hay otras áreas en las que se ha escrito el material fundamental, pero es tan largo y complicado que nadie ha podido comprobar que sea completamente correcto. En cambio, los matemáticos simplemente tienen fe.

“Confiamos en la reputación del autor. Sabemos que es un genio y un tipo cuidadoso, así que debe ser correcto “, dijo Patrick Massot de la Universidad Paris-Saclay.

Esta es una de las razones por las que los asistentes de pruebas son tan atractivos. Traducir las matemáticas a un lenguaje que una computadora pueda entender obliga a los matemáticos a catalogar finalmente su conocimiento y definir objetos con precisión.

Assia Mahboubi, del instituto nacional de investigación francés Inria, recuerda la primera vez que se dio cuenta del potencial de una biblioteca digital tan ordenada: “Fue fascinante para mí que uno pudiera capturar, en teoría, toda la literatura matemática con el puro lenguaje de la lógica y el almacenamiento un corpus de matemáticas en una computadora y verifíquelo y navegue usando estos programas “.

Lean no es el primer programa con este potencial. El primero, llamado Automath, salió en la década de 1960, y Coq, uno de los asistentes de prueba más utilizados en la actualidad, salió en 1989. Los usuarios de Coq han formalizado muchas matemáticas en su lenguaje, pero ese trabajo ha sido descentralizado y desorganizado. . Los matemáticos trabajaron en proyectos que les interesaban y solo definieron los objetos matemáticos necesarios para llevar a cabo sus proyectos, a menudo describiendo esos objetos de maneras únicas. Como resultado, las bibliotecas de Coq se sienten desordenadas, como una ciudad no planificada.

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