El nuevo puente matemático más allá del último teorema de Fermat

Cuando Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat a principios de la década de 1990, su prueba fue aclamada como un paso monumental no solo para los matemáticos sino para toda la humanidad. El teorema es la simplicidad misma: postula que xnorte + ynorte = znorte no tiene soluciones positivas de números enteros cuando norte es mayor que 2. Sin embargo, este simple reclamo atormentó a legiones de aspirantes a probadores durante más de 350 años, desde que el matemático francés Pierre de Fermat lo anotó en 1637 en el margen de una copia de Diophantus ” Aritmetica. Fermat, notoriamente, escribió que había descubierto “una prueba verdaderamente maravillosa, que este margen es demasiado estrecho para contener”. Durante siglos, los matemáticos profesionales y los entusiastas aficionados buscaron la prueba de Fermat, o cualquier prueba en absoluto.

Historia original reimpreso con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente del Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo desarrollos de investigación y tendencias en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.

La prueba que finalmente se le ocurrió a Wiles (ayudado por Richard Taylor) fue algo que Fermat nunca hubiera soñado. Abordó el teorema indirectamente, por medio de un enorme puente que los matemáticos habían conjeturado que debería existir entre dos continentes distantes, por así decirlo, en el mundo matemático. Prueba de Wiles de El último teorema de Fermat se redujo a establecer este puente entre solo dos pequeñas parcelas de tierra en los dos continentes. La prueba, que estaba llena de nuevas ideas profundas, desencadenó una cascada de resultados adicionales sobre los dos lados de este puente.

Desde esta perspectiva, la impresionante prueba de Wiles resolvió solo una minúscula pieza de un rompecabezas mucho más grande. Su prueba fue “una de las mejores cosas de las matemáticas del siglo XX”, dijo Toby Gee, del Imperial College de Londres. Sin embargo, “todavía era solo una pequeña esquina” del puente conjeturado, conocido como el Correspondencia Langlands.

El puente completo ofrecería a los matemáticos la esperanza de iluminar grandes extensiones de matemáticas al pasar conceptos de un lado a otro. Muchos problemas, incluido el último teorema de Fermat, parecen difíciles en un lado del puente, solo para transformarse en problemas más fáciles cuando se los cambia al otro lado.

Después de que Wiles presentara su prueba, otros matemáticos extendieron ansiosamente su puente a porciones ligeramente más grandes de los dos continentes. Pero luego golpearon una pared. Hay dos direcciones naturales siguientes para extender el puente aún más, pero para ambas, el método Taylor-Wiles se enfrentó a lo que parecía una barrera insuperable.

Andrew Wiles, el matemático que demostró el último teorema de Fermat, recibió el Premio Abel en 2016.Fotografía: Alain Goriely / Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford

“La gente quería hacer esto durante mucho tiempo”, dijo Ana Caraiani del Imperial College London. Pero “prácticamente no pensamos que fuera posible”.

Ahora, dos documentos, que representan la culminación de los esfuerzos de más de una docena de matemáticos, han superado esta barrera, resolviendo esencialmente ambos problemas. Eventualmente, estos hallazgos pueden ayudar a los matemáticos a probar el último teorema de Fermat para algunos sistemas de números más allá de los números enteros positivos.

Son “resultados fundamentales”, dijo Matthew Emerton, de la Universidad de Chicago. “Hay algunos fenómenos teóricos numéricos fundamentales que se están revelando, y estamos empezando a entender cuáles son”.

Aguja en un vacío

Un lado del puente de Langlands se enfoca en algunas de las ecuaciones menos complicadas que puede escribir: ecuaciones de “diofantina”, que son combinaciones de variables, exponentes y coeficientes como y = x2 + 6x + 8, o x3 + y3 = z3. Durante milenios, los matemáticos han tratado de descubrir qué combinaciones de números enteros satisfacen una ecuación dada de Diophantine. Están motivados principalmente por lo simple y natural que es esta pregunta, aunque parte de su trabajo recientemente ha tenido aplicaciones imprevistas en áreas como la criptografía.

Desde la época de los antiguos griegos, los matemáticos han sabido encontrar las soluciones de números enteros a las ecuaciones de Diophantine que tienen solo dos variables y ningún exponente mayor que 2. Pero buscar soluciones de números enteros no es nada sencillo con ecuaciones que tienen valores más grandes. exponentes, comenzando con curvas elípticas. Estas son ecuaciones que tienen y2 a la izquierda y una combinación de términos cuya potencia más alta es 3, como x3 + 4x + 7, a la derecha. Son un “problema enormemente más difícil” que las ecuaciones con exponentes más bajos, dijo Gee.

En el otro lado del puente viven objetos llamados formas automórficas, que son similares a los colores altamente simétricos de ciertas inclinaciones. En los casos que Wiles estudió, el mosaico podría ser algo similar a M.C. Las famosas teselaciones de Escher de un disco con peces o ángeles y demonios que se hacen más pequeños cerca del límite. En el universo más amplio de Langlands, el mosaico podría llenar una bola tridimensional o algún otro espacio de dimensiones superiores.

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